Cách Giải Phương Trình Mũ Và Logarit

     

Bài viết phân dạng cùng hướng dẫn phương thức giải những dạng toán phương trình mũ với bất phương trình nón trong công tác Giải tích 12 chương 2, kỹ năng và các ví dụ trong nội dung bài viết được tìm hiểu thêm từ những tài liệu lũy vượt – mũ – logarit được đăng download trên hoanggiaphat.vn.

Bạn đang xem: Cách giải phương trình mũ và logarit

A. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ1. $a^fleft( x ight) = a^gleft( x ight)$ $ Leftrightarrow fleft( x ight) = gleft( x ight).$2. $a^fleft( x ight) = b = a^log _ab$ $ Leftrightarrow fleft( x ight) = log _ab.$3. $a^fleft( x ight) = b^gleft( x ight)$ $ Leftrightarrow fleft( x ight) = gleft( x ight)log _ab.$4. $a^fleft( x ight) > a^gleft( x ight)$ $(1).$+ Nếu $a > 1$ thì $left( 1 ight) Leftrightarrow fleft( x ight) > gleft( x ight).$+ Nếu $0 Hay $left( 1 ight) Leftrightarrow left{ eginarrayla > 0\left( a – 1 ight)left( fleft( x ight) – gleft( x ight) ight) > 0endarray ight.$

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨDạng 1. đổi mới đổi, quy về cùng cơ sốPhương pháp: Ta áp dụng phép thay đổi tương đương sau:$a^fleft( x ight) = a^gleft( x ight) Leftrightarrow a = 1$ hoặc $left{ eginarrayl0 fleft( x ight) = gleft( x ight)endarray ight.$Logarit hóa và mang lại cùng cơ số:+ Dạng 1: Phương trình: $a^fleft( x ight) = b Leftrightarrow left{ eginarrayl0 0\fleft( x ight) = log _abendarray ight.$+ Dạng 2: Phương trình:$a^fleft( x ight) = b^gleft( x ight)$ $ Leftrightarrow log _aa^fleft( x ight) = log _ab^fleft( x ight)$ $ Leftrightarrow fleft( x ight) = gleft( x ight).log _ab$ hoặc $a^fleft( x ight) = b^gleft( x ight)$ $⇔ log _ba^fleft( x ight) = log _bb^gleft( x ight)$ $ Leftrightarrow fleft( x ight).log _ba = gleft( x ight).$

Ví dụ 1. Giải các phương trình:1. $2^x^2 – x + 8 = 4^1 – 3x.$2. $5^x + 1 – 5^x = 2^x + 1 + 2^x + 3.$

1. $2^x^2 – x + 8 = 4^1 – 3x$ $ Leftrightarrow 2^x^2 – x + 8 = 2^2left( 1 – 3x ight)$ $ Leftrightarrow x^2 – x + 8 = 2left( 1 – 3x ight)$ $ Leftrightarrow x^2 + 5x + 6 = 0$ $ Leftrightarrow x = – 2, x = – 3.$Vậy, phương trình cho bao gồm nghiệm $x = – 2, x = – 3.$2. $5^x + 1 – 5^x = 2^x + 1 + 2^x + 3$ $ Leftrightarrow 5.5^x – 5^x = 2.2^x + 2^3.2^x$$ Leftrightarrow 4.5^x = 10.2^x$ $ Leftrightarrow left( frac52 ight)^x = frac104 = frac52$ $ Leftrightarrow x = 1.$Vậy, phương trình cho bao gồm nghiệm $x = 1.$

Ví dụ 2.Giải các phương trình:1. $8^fracxx + 2 = 36.3^2 – x.$2. $sqrt 2^x.sqrt<3>4^x.sqrt<3 mx>0.125 = 4sqrt<3>2.$

1. Điều kiện: $x e – 2.$Phương trình đã đến $ Leftrightarrow 2^frac3xx + 2 = 2^2.3^4 – x$ $ Leftrightarrow 2^fracx – 4x + 2 = 3^4 – x$ $ Leftrightarrow fracx – 4x + 2log _32 = 4 – x$$ Leftrightarrow left( x – 4 ight)left( x + 2 + log _32 ight) = 0$ $ Leftrightarrow x = 4$ hoặc $x = – 2 – log _32.$Vậy, phương trình cho tất cả nghiệm: $x = 4$ hoặc $x = – 2 – log _32.$2. Điều kiện: $left{ eginarraylx ge frac13\3x in Nendarray ight.$Vì các cơ số của các lũy thừa hầu như viết được bên dưới dạng lũy quá cơ số $2$ cần ta thay đổi hai vế của phương trình về lũy vượt cơ số $2$ và đối chiếu hai số mũ.Phương trình $ Leftrightarrow sqrt 2^x.2^2.fracx3.left( frac18 ight)^frac1 m3x $ $ = 2^2.2^frac13$ $ Leftrightarrow 2^fracx2.2^fracx32^frac – 1 m2x = 2^frac73$$ Leftrightarrow 2^fracx2 + fracx3 – frac12x = 2^frac73$ $ Leftrightarrow fracx2 + fracx3 – frac12x = frac73$ $ Leftrightarrow 5x^2 – 14x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow x = – frac15$ hoặc $x = 3.$Kết phù hợp với điều kiện ta có $x = 3$ là nghiệm của phương trình.

Ví dụ 3. Giải phương trình: $4^x^2 – 3x + 2 + 4^2x^2 + 6x + 5$ $ = 4^3x^2 + 3x + 7 + 1.$

Phương trình đã đến $ Leftrightarrow 4^x^2 – 3x + 2 + 4^2x^2 + 6x + 5$ $ = 4^x^2 – 3x + 2.4^2x^2 + 6x + 5 + 1$$ Leftrightarrow 4^x^2 – 3x + 2 – 1 + 4^2x^2 + 6x + 5$ $ – 4^x^2 – 3x + 2.4^2x^2 + 6x + 5 = 0$$ Leftrightarrow left( 4^x^2 – 3x + 2 – 1 ight)left( 4^2x^2 + 6x + 5 – 1 ight) = 0.$$4^x^2 – 3x + 2 = 1$ $ Rightarrow x^2 – 3x + 2 = 0$ $ Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 2.$$4^2x^2 + 6x + 5 = 1$ $ Rightarrow 2x^2 + 6x + 5 = 0$, phương trình này vô nghiệm.Vậy, phương trình cho tất cả $2$ nghiệm: $x = 1$, $x = 2.$

Dạng 2.

Xem thêm: Ánh Sáng Mặt Trời Bình Minh Và Hoàng Hôn!, Bình Minh Là Gì



Xem thêm: Phân Dạng Và Bài Tập Hình Học 11 Chương 1 1 Học Kỳ I, Giải Toán 11 Bài Tập Ôn Tập Chương I

Đặt ẩn phụ
Phương pháp: $fleft< a^gleft( x ight) ight> = 0$ $left( {0 t = a^gleft( x ight) > 0\fleft( t ight) = 0endarray ight.$+ Dạng 1: Ta có dạng tổng thể của bài toán trên là: $Fleft( a^fleft( x ight) ight) = 0.$ Với dạng này ta đặt $t = a^fleft( x ight)$, $t > 0$ và đưa về phương trình $Fleft( t ight) = 0$, giải kiếm tìm nghiệm dương $t$ của phương trình, từ đó ta kiếm được $x.$ Ta thường gặp dạng: $m.a^2fleft( x ight) + n.a^fleft( x ight) + phường = 0.$ Với bất phương trình ta cũng làm cho tương tự.+ Dạng 2: $m.a^fleft( x ight) + n.b^fleft( x ight) + p = 0$, trong đó $a.b = 1.$Đặt $t = a^fleft( x ight)$, $t > 0$ $ Rightarrow b^fleft( x ight) = frac1t.$+ Dạng 3: $m.a^2fleft( x ight) + n.left( a.b ight)^fleft( x ight) + p.b^2fleft( x ight) = 0$. Chia $2$ vế phương trình mang đến $b^2fleft( x ight)$ và đặt $t = left( fracab ight)^fleft( x ight)$, $t > 0$. Ta gồm phương trình: $mt^2 + nt + p. = 0.$

Ví dụ 4. Giải các phương trình:1. $2.16^x – 15.4^x – 8 = 0.$2. $2^3x – 6.2^x – frac12^3(x – 1) + frac122^x = 1.$

1. Đặt $t = 4^x, t > 0$ ta bao gồm phương trình $2t^2 – 15t – 8 = 0$ $ Leftrightarrow t = 8, t = – frac12$ (loại).Với $t = 8$ $ Leftrightarrow 2^x = 2^3 Leftrightarrow x = 3.$Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 3.$2. Đặt $t = 2^x, t > 0$ ta có: $t^3 – 6t – frac8t^3 + frac12t = 1$ $ Leftrightarrow left( t^3 – frac8t^3 ight) – 6left( t – frac2t ight) – 1 = 0.$Đặt $y = t – frac2t$ $ Rightarrow t^3 – frac8t^3$ $ = left( t – frac2t ight)left( t^2 + frac4t^2 + 2 ight)$ $ = left( t – frac2t ight)left< (t – frac2t)^2 + 6 ight>$ $ = y(y^2 + 6).$Nên ta tất cả phương trình: $y^3 – 1 = 0 Leftrightarrow y = 1$ $ Leftrightarrow t – frac2t = 1$$ Leftrightarrow t^2 – t – 2 = 0$ $ Leftrightarrow t = 2 Leftrightarrow x = 1.$Vậy, phương trình cho bao gồm nghiệm $x = 1.$

Ví dụ 5. Giải những phương trình:1. $3.8^x + 4.12^x – 18^x – 2.27^x = 0.$2. $9^ – x^2 + 2x + 1 – 34.15^2x – x^2$ $ + 25^2x – x^2 + 1 = 0.$

1. Phương trình đang cho $ Leftrightarrow 3left( frac23 ight)^3x + 4.left( frac23 ight)^2x – left( frac23 ight)^x – 2 = 0.$Đặt $t = left( frac23 ight)^x, t > 0$ ta được: $3t^3 + 4t^2 – t – 2 = 0$ $ Leftrightarrow (t + 1)(3t^2 + t – 2) = 0$ $ Leftrightarrow t = frac23 Leftrightarrow x = 1.$Vậy, phương trình cho có nghiệm $x = 1.$2. Phương trình $ Leftrightarrow 9.9^2x – x^2 – 34.15^2x – x^2 + 25.25^2x – x^2 = 0$$ Leftrightarrow 9left( frac35 ight)^2(2x – x^2) – 34left( frac35 ight)^2x – x^2 + 25 = 0.$Đặt $t = left( frac35 ight)^2 mx – x^2, t > 0.$Ta bao gồm phương trình: $9t^2 – 34t + 25 = 0$ $ Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = frac259.$+ Với $t = 1 Leftrightarrow left( frac35 ight)^2x – x^2 = 1$ $ Leftrightarrow 2x – x^2 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0; x = 2.$+ Với $t = frac259 Leftrightarrow left( frac35 ight)^2x – x^2 = left( frac35 ight)^ – 2$ $ Leftrightarrow x^2 – 2x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow x = 1 pm sqrt 3 .$Vậy phương trình đã mang đến có những nghiệm $x = 0; x = 2; x = 1 pm sqrt 3 .$

Ví dụ 6. Giải những phương trình:1. $2^2x^2 + 1 – 9.2^x^2 + x + 2^2x + 2 = 0.$2. $frac82^x – 1 + 1 + frac2^x2^x + 2 = frac182^x – 1 + 2^1 – x + 2.$

1. Chia cả $2$ vế phương trình cho $2^2x + 2 e 0$ ta được:$2^2x^2 – 2x – 1 – 9.2^x^2 – 2x – 2 + 1 = 0$ $ Leftrightarrow frac12.2^2x^2 – 2x – frac94.2^x^2 – x + 1 = 0$$ Leftrightarrow 2.2^2x^2 – 2x – 9.2^x^2 – x + 4 = 0.$Đặt $t = 2^x^2 – x, t > 0.$ Khi kia phương trình cho viết lại:$2t^2 – 9t + 4 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylt = 4\t = frac12endarray ight.$ $ Rightarrow left< eginarrayl2^x^2 – x = 2^2\2^x^2 – x = 2^ – 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx^2 – x = 2\x^2 – x = – 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = – 1\x = 2endarray ight.$Vậy phương trình có $2$ nghiệm $x = – 1, x = 2.$Chú ý: Để ý việc cho không tồn tại tham số nên ta sử dụng đk cho ẩn phụ chỉ nên $t > 0$ và nếu $t = frac12$ vô nghiệm. Nếu bài toán có cất tham số thì điều kiện đúng của: $x^2 – x = left( x – frac12 ight)^2 – frac14 ge – frac14$ $ Leftrightarrow 2^x^2 – x ge 2^frac14 Leftrightarrow t ge frac1sqrt<4>2.$2. Phương trình cho viết lại: $frac82^x – 1 + 1 + frac12^1 – x + 1 = frac182^x – 1 + 2^1 – x + 2$ $(*).$Đặt: $u = 2^x – 1 + 1$, $v = 2^1 – x + 1$ $left( u,v > 1 ight).$Phương trình $(*)$ trở thành: $left{ eginarraylfrac8u + frac1v = frac18u + v\u + v = uvendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylu + 8v = 18\u + v = uvendarray ight.$ $ Leftrightarrow u = v = 2$ hoặc $u = 9; v = frac98.$+ Với $u = v = 2$, ta được $left{ eginarrayl2^x – 1 + 1 = 2\2^1 – x + 1 = 2endarray ight. Leftrightarrow x = 1.$+ Với $u = 9; v = frac98$, ta được $left{ eginarrayl2^x – 1 + 1 = 9\2^1 – x + 1 = frac98endarray ight. Leftrightarrow x = 4.$Vậy, phương trình vẫn cho gồm nghiệm $x = 1, x = 4.$Dạng 3. Logarit hóaPhương pháp:+ Dạng 1: $a^gleft( x ight) = fleft( x ight)$ $left( {0 fleft( x ight) > 0\gleft( x ight) = log _afleft( x ight)endarray ight.$+ Dạng 2: $a^fleft( x ight) = b^gleft( x ight)$ $left( {0 Ví dụ 7. Giải những phương trình:1. $(x^2 + 1)^ x^2 – 5x + 4 ight = (x^2 + 1)^x + 4.$2. $5^x.8^fracx – 1x = 500.$

1. Phương trình $ Leftrightarrow left< eginarraylx^2 + 1 = 1\left| x^2 – 5x + 4 ight| = x + 4endarray ight.$$ Leftrightarrow left< eginarraylx = 0\left{ eginarraylx ge – 4\(x^2 – 5x + 4)^2 – (x + 4)^2 = 0endarray ight.endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = 0\left{ eginarraylx ge – 4\(x^2 – 4x + 8)(x^2 – 6x) = 0endarray ight.endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 0, x = 6$ là nghiệm của phương trình vẫn cho.Chú ý: đem logarit $2$ vế, bài toán cho lời giải đẹp.2.Cách 1: $5^x.8^fracx – 18 = 500$ $ Leftrightarrow 5^x.2^3fracx – 1x = 5^3.2^2$ $ Leftrightarrow 5^x – 3.2^fracx – 3x = 1.$Lấy logarit cơ số $2$ vế, ta được: $log _2left( 5^x – 3.2^fracx – 3x ight) = 0$ $ Leftrightarrow log _2left( 5^x – 3 ight) + log _2left( 2^fracx – 3x ight) = 0$$ Leftrightarrow left( x – 3 ight).log _25 + fracx – 3xlog _22 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = 3\x = – frac1log _25 = – log _52endarray ight.$Vậy phương trình bao gồm $2$ nghiệm phân biệt: $x = 3, x = – log _52.$Cách 2: Phương trình đã mang lại $ Leftrightarrow 5^x.2^frac3left( x – 1 ight)x = 5^3.2^2$ $ Leftrightarrow 5^x – 3 = 2^frac3 – xx$ $ Leftrightarrow 5^x – 3 = left( 2^ – frac1x ight)^x – 3$$ Leftrightarrow 5^x – 3 = left( frac12^frac1x ight)^x – 3$ $ Leftrightarrow left( 5.2^frac1x ight)^x – 3 = 1$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx – 3 = 0\5.2^frac1x = 1endarray ight. Leftrightarrow left< eginarraylx = 3\x = – log _52endarray ight.$

Ví dụ 8. Giải các phương trình:1. $x^6.5^ – log _x5 = 5^ – 5.$2. $49.2^x^2 = 16.7^x.$3. $8^x.5^x^2 – 1 = 2^ – 3.$

1. Điều kiện: $0 lấy logarit cơ số $5$ cả nhị vế phương trình cho ta được:$log _5left( x^6.5^ – log _x5 ight) = log _55^ – 5$ hay $6log _5x – log _x5 = – 5$$ Leftrightarrow 6left( log _5x ight)^2 + 5log _5x – 1 = 0$ $(*).$Đặt $t = log _5x$, phương trình $(*)$ trở thành $6t^2 + 5t – 1 = 0$, phương trình này có hai nghiệm $t = – 1$ hoặc $t = frac16.$+ Với $t = – 1$ tức $log _5x = – 1$ $ Leftrightarrow x = 5^ – 1 = frac15.$+ Với $t = frac16$ tức $log _5x = frac16$ $ Leftrightarrow x = 5^frac15 = sqrt<6>5.$Vậy, phương trình cho có $2$ nghiệm: $x in left sqrt<6>5;frac15 ight.$2. Phương trình mang lại tương đương $2^x^2 – 4 = 7^x – 2$ $(*).$Lấy logarit cơ số $2$ hai vế phương trình $(*)$ ta được: $log _22^x^2 – 4 = log _27^x – 2$$ Leftrightarrow x^2 – 4 = left( x – 2 ight)log _27$ $ Leftrightarrow left( x – 2 ight)left( x + 2 – log _27 ight) = 0$$ Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = log _27 – 2.$Vậy, phương trình đang cho tất cả nghiệm $x = log _27 – 2$, $x = 2.$3. Lấy logarit nhị vế với cơ số $8$, ta được:$log _88^x.5^x^2 – 1 = log _8frac18$ $ Leftrightarrow log _88^x + log _85^x^2 – 1 = log _88^ – 1$$ Leftrightarrow x + left( x^2 – 1 ight)log _85 = – 1$ $ Leftrightarrow x + 1 + left( x^2 – 1 ight)log _85 = 0$$ Leftrightarrow left( x + 1 ight) + left( x + 1 ight)left( x – 1 ight)log _85 = 0$ $ Leftrightarrow left( x + 1 ight)left< 1 + left( x – 1 ight)log _85 ight> = 0$$ Leftrightarrow left< eginarraylx + 1 = 0\1 + left( x – 1 ight)log _85 = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = – 1\x.log _85 = log _85 – 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx = – 1\x = 1 – log _58endarray ight.$Vậy phương trình bao gồm nghiệm: $x = – 1, x = 1 – log _58.$

Dạng 4. Ẩn phụ không hoàn toànVí dụ 9. Giải những phương trình:1. $3.4^x + (3x – 10)2^x + 3 – x = 0.$2. $9^x – 2left( x + 5 ight).3^x + 9left( 2x + 1 ight) = 0.$

1. Đặt $t = 2^x, t > 0$, ta tất cả phương trình:$3t^2 + (3x – 10)t + 3 – x = 0$ $(1).$Ta xem $(1)$ là phương trình bậc nhì ẩn $t$ và $x$ là tham số.Phương trình này có: $Delta = (3x – 10)^2 – 12(3 – x) = (3x – 8)^2$$ Rightarrow (1) Leftrightarrow t = frac13$ hoặc $t = – x + 3.$+ Với $t = frac13 Leftrightarrow 2^x = frac13 Leftrightarrow x = – log _23.$+ Với $t = – x + 3$ $ Leftrightarrow 2^x + x = 3 Leftrightarrow x = 1$ (Do $VT$ là một hàm đồng biến).Vậy phương trình sẽ cho tất cả hai nghiệm: $x = – log _23; x = 1.$2. Đặt $t = 3^x,$ $t > 0.$Phương trình cho trở thành: $t^2 – 2left( x + 5 ight)t + 9left( 2x + 1 ight) = 0$ $(*)$, phương trình này có biệt số $Delta’ = left( x + 5 ight)^2 – 9left( 2x + 1 ight) = left( x – 4 ight)^2.$Vì $Delta’ ge 0$ nên phương trình $(*)$ bao gồm $2$ nghiệm: $t = 9$ hoặc $t = 2x + 1.$+ Với $t = 9$ tức $3^x = 9 ⇔ x = 2.$+ Với $t = 2x + 1$ tức $3^x = 2x + 1$ $⇔x = 0$ hoặc $x = 1$ (Phương trình $3^x = 2x + 1$ hoàn toàn có thể giải bằng phương thức xét tính đối kháng điệu của hàm số $f(x) = 3^x – 2x – 1$ sẽ tiến hành đề cập ở dạng 5).Vậy, phương trình cho bao gồm $3$ nghiệm: $x = 0$, $x = 1$, $x = 2.$

XEM TIẾP PHẦN 2: Phương pháp giải phương trình mũ với bất phương trình mũ (Phần 2)