GIỚI HẠN DÃY SỐ LỚP 11

     

Lý thuyết giới hạn của dãy số lớp 11 gồm định hướng chi tiết, gọn nhẹ và bài tập từ luyện tất cả lời giải cụ thể sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng trọng tâm Toán 11 bài xích 1: giới hạn của hàng số.

Bạn đang xem: Giới hạn dãy số lớp 11


Lý thuyết Toán 11 bài 1: giới hạn của dãy số

Bài giảng Toán 11 bài xích 1: số lượng giới hạn của dãy số

A. LÝ THUYẾT

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói hàng số (un) có giới hạn là 0 lúc n dần dần tới dương vô cực, ví như |un| có thể nhỏ hơn một trong những dương nhỏ nhắn tuỳ ý, tính từ lúc một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu:limn→+∞un=0hay un→ 0 khi n → +∞.

Ví dụ 1. mang lại dãy số (un) với un=−1nn2. Tìm số lượng giới hạn dãy số

Giải

Xétun=1n2=1n2

Với n > 10 n2 > 102 = 100

⇒un=1n2=1n21100⇒limn→∞un=0

Định nghĩa 2

Ta nói hàng số (vn) có số lượng giới hạn là a (hay vndần cho tới a) khi n → +∞ nếulimn→+∞vn−a=0

Kí hiệu:limn→+∞vn=ahay vn→ a lúc n → +∞.

Ví dụ 2. Cho hàng số vn=−n−13+2n. Chứng minh rằng limn→∞vn=−12.

Giải

Ta cólimn→∞vn+12=limn→∞−n−13+2n+12=limn→∞=123+2n=0

Do đó: limn→∞vn=−12.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a)limn→+∞1n=0,limn→+∞1nk=0 với k nguyên dương;

b)limn→+∞qnnếu |q|

c) ví như un= c (c là hằng số) thìlimn→+∞un=limn→+∞c=c.

Chú ý:Từ nay sau đây thay cholimn→+∞un=ata viết tắt là lim un= a.

II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

a) trường hợp lim un= a cùng lim vn= b thì

lim (un+ vn) = a + b

lim (un– vn) = a – b

lim (un.vn) = a.b

limunvn=ab(nếu b≠0)

Nếu un≥0với các n và limun­ = a thì:

limun=a vàa≥0.

Ví dụ 3. Tínhlimn2−2n+1

Giải

limn2−2n+1=limn3+n2−2n+1=lim1+1n−2n31n2+1n3=lim1+1n−2n3:lim1n2+1n3=lim1+lim1n−lim2n3:lim1n2+lim1n3=+∞

Ví dụ 4. Tìmlim2+9n21+4n

Giải

lim2+9n21+4n=limn22n2+9n1n+4=limn2n2+9n1n+4=lim2n2+91n+4=34.

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, cùng với |q|

Tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn:

S=u1+u2+u3+...+un+...=u11−qq1

Ví dụ 5. Tính tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn1;−12;14;−18;...;−12n−1;...

Giải

Ta có dãy số1;−12;14;−18;...;−12n−1;... Là một số trong những cấp số nhân lùi vô hạn cùng với công bội q=−12.

Khi đó ta có:

*

*

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

- Ta nói hàng số (un) có số lượng giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu uncó thể to hơn một số dương bất kì, tính từ lúc một số hạng nào kia trở đi.

Kí hiệu: lim un= +∞ xuất xắc un→ +∞ khi n → +∞.

- hàng số (un) có số lượng giới hạn là –∞ lúc n → +∞, nếu như lim (–un) = +∞.

Kí hiệu: lim un= –∞ tốt un→ –∞ lúc n → +∞.

Nhận xét: un= +∞ ⇔ lim(–un) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta chính thức các tác dụng sau

a) lim nk= +∞ với k nguyên dương;

b) lim qn= +∞ trường hợp q > 1.

3. Định lí 2

a) nếu như lim un= a với lim vn= ±∞ thìlimunvn=0

b) nếu lim un= a > 0, lim vn= 0 và vn> 0, ∀ n > 0 thìlimunvn=+∞

c) nếu lim un= +∞ với lim đất nước hình chữ s = a > 0 thìlimun.vn=+∞

Ví dụ 6.

Xem thêm: Các Nguyên Nhân Nào Dẫn Đến Tệ Nạn Xã Hội Và Cách Khắc Phục, Hạn Chế

Tính lim2n+1n.

Giải

lim2n+1n=lim2n+lim1n

Vì lim2n=+∞vàlim1n=0

⇒lim2n+1n=+∞

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a)lim2n+8n−9;

b)lim4−n3−12n21+2n3;

c)lim3n−4n+12.4n+2n.

Lời giải

a)lim2n+8n−9=lim2+8n1−9n=2.

b)

lim4−n3−12n21+2n3=lim4n3−1−12n1n3+2=−12.

c)

lim3n−4n+12.4n+2n=lim34n−1+14n2+12n=−12.

Bài 2. tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn gồm công bội là 23và tính tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn.

Lời giải

Số hạng bao quát của cung cấp số nhân lùi vô hạn là: un=23n.

Suy ra số hạng đầu tiên của hàng là:u1=1

Khi kia tổng cấp cho số nhân lùi vô hạn là:S=u11−q=11−23=113=3.

Vậy số hạng bao quát của cấp cho số nhân lùi vô hạn là:un=23n và tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn là 3.

Bài 3. Biết dãy số (un) thỏa mãn un−11n3với phần lớn n. Minh chứng rằng limun = 1.

Lời giải

Đặt toàn quốc = un - 1

Chọn số dương nhỏ bé tùy ý d, tồn tạin0=1d3+1 với đa số n≥n0sao cho:

vn1n31n03=11d3+1311d33=d

Theo có mang ta có: limvn = 0.

Do đó: lim (un – 1) = 0

⇒limun=1.

Bài 4. Tính các giới hạn sau:

a) limn2+n−n2−1;

b) lim(n3 + 2n2 – n + 1).

Lời giải

a)

limn2+n−n2−1=limn2+n−n2−1n2+n+n2−1n2+n+n2−1=limn+1n2+n+n2−1=lim1+1n1+1n+1−1n2=11+1=12.

b) lim(n3 + 2n2 – n + 1) =limn31+2n−1n2+1n3=limn3.lim1+2n−1n2+1n3=∞

(Vì limn3=∞,lim1+2n−1n2+1n3=1).

Trắc nghiệm Toán 11 bài xích 1: giới hạn của hàng số

Câu 1: Cho cung cấp số nhân un=12n∀n≥1 .Khi đó:

A.S=1

B.S=12n

C.S=0

D.S=2

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Giải thích:

Cấp số nhân đã cho là cấp số nhân lùi vô hạn có:

u1=12;q=12

⇒S=u11−q=121−12=1


Câu 3: đến unlà một cung cấp số nhân công bội q=13và số hạng đầu u1=2,

Đặt S=u1+u2+...+un . Giá chỉ limSnlà:

A. 1

B. 23

C. 43

D. 3

Hiển thị giải đáp

Đáp án: D

Giải thích:

Do0q=131nên cung cấp số nhân đã mang đến là cung cấp số nhân lùi vô hạn:

S=u1+u2+...+un

=u1(1−qn)1−q

⇒limSn=u1(1−qn)1−q

=u11−q=21−13=3


Câu 4: cung cấp số nhân uncó u1=2,u2=1. Đặt Sn=u1+u2+...+un), lúc đó:

A.Sn=41−12n

B.Sn=4

C.Sn=2

D.Sn=1−12n

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

VìSn=u1+u2+...+un nên đây là tổng n số hạng đầu của cấp cho số nhân công bội

q=  u2u1= 12.

Theo công thức tính tổngSn=u1(1−qn)1−qta được:

Sn=2(1−12n)1−12=41−12n


Đáp án: B

Giải thích:

C=lim3.3n+4n3n+1+4n+1

=lim3.3n+4n3.3n+4.4n

=lim3.34n+13.34n+4

=3.0+​13.0+​  4=12


Câu 6: Biết limun=3. Chọn mệnh đề đúng trong số mệnh đề sau.

Xem thêm: Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Tròn Tiếp Theo, Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Tròn (Tiếp)

A.lim3un−1un+1=3

B.lim3un−1un+1=−1

C.lim3un−1un+1=2

D.lim3un−1un+1=1

Hiển thị câu trả lời

Câu 7: Biết limun=+∞. Lựa chọn mệnh đề đúng trong những mệnh đề sau.