Nguyên Hàm Của Xe^x

     

1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) xác minh trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu như F"(x) = f(x) với tất cả x ∈ K.

Bạn đang xem: Nguyên hàm của xe^x

2. Tính chất nguyên hàm

Nguyên hàm tất cả 3 tính chất đặc trưng cần nhớ:

*

2. Bảng nguyên hàm

a) Bảng phương pháp nguyên hàm cơ bản

*

b) Bảng nguyên hàm mở rộng

*

3. Các phương thức tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng phương pháp ĐỔI BIẾN nhằm tìm nguyên hàm

a) Đổi trở thành tổng quát

Bước 1: chọn t = φ(x). Trong số ấy φ(x) là hàm số mà lại ta chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân nhị về dt = φ"(x)dxBước 3: biểu thị f(x)dx = g<φ(x)>φ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: lúc đó $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: lựa chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân nhị về dt = – 3sinx.dxBước 3: thể hiện $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: khi đó $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến dị 1

*

c) Đổi biến tấu 2

*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần

*

Nguyên tắc chung để tại vị u với dv: tìm kiếm được v thuận tiện và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: đồ vật tự ưu tiên khi lựa chọn đặt u: “Nhất lô, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm đa thức, hàm vị giác, hàm mũ).

Ví dụ: kiếm tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Phương pháp tính nguyên hàm bằng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy search f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình vẫn hướng dẫn cách bấm máy tính xách tay nguyên hàm nhanh theo 3 cách sau:

Bước 1: nhận shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight)_x = X – fleft( X ight)$

Bước 2: thừa nhận phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá chỉ nghiệm

Nếu công dụng bằng 0 (gần bởi 0 ) thì sẽ là đáp án yêu cầu chọn

Ví dụ: Tìm toàn bộ nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm trang bị tính

Bước 1: Nhập vào máy vi tính casio $fracddxleft( frac12.ln left( ight) ight)_x = X – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong kết quả A cùng C nếu mang lại X = 2 thì rất nhiều cho công dụng là 0. Vậy khi tất cả trị hoàn hảo và tuyệt vời nhất thì mang lại X một giá trị mang lại biểu thức trong trị hoàn hảo âm.

Kết luận: Chọn đáp án A.

Xem thêm: Những Câu Đố Hay Về Thầy Cô Giáo, Câu Hỏi Chủ Đề 20

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm dạng $left< eginarrayl I = int P(x)sin axdx \ I = int P(x)c mosaxdx endarray ight.$ với $P(x)$ là một đa thứcTa lựa lựa chọn một trong hai phương pháp sau:

Cách 1: sử dụng nguyên hàm từng phần, tiến hành theo công việc sau:

Bước 1: Đặt: $left{ eginarrayl u = P(x)\ dv = left< eginarrayl mathop m s olimits minaxdx\ mcosaxdx endarray ight. endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = P"(x)dx\ v = left< eginarrayl frac – 1ac mosax\ frac m1 masin ax endarray ight. endarray ight.$Bước 2: nỗ lực vào bí quyết nguyên hàm từng phần.Bước 3: liên tiếp thủ tục như trên ta đang khử được bậc của nhiều thức.

Xem thêm: Download Vở Bài Tập Toán Lớp 1 Tập 2 (Bản Đầy Đủ), Vở Bài Tập Toán 1 Tập 2 Cánh Diều

Cách 2: Sử dụng phương thức hệ số bất định, thực hiện theo công việc sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong các số đó $A(x)$ cùng $B(x)$ là các đa thức thuộc bậc cùng với $P(x).$ Bước 2: đem đạo hàm nhì vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta khẳng định được $A(x)$ cùng $B(x).$

Nhận xét: trường hợp bậc của nhiều thức lớn hơn $3$ thì cách 1 tỏ ra cồng kềnh, vì lúc đó ta thực hiện số lần nguyên hàm từng phần bằng với số bậc của đa thức, cho nên ta đi đến đánh giá và nhận định như sau:

Nếu bậc của nhiều thức nhỏ tuổi hơn hoặc bởi $2$: Ta thực hiện cách 1.Nếu bậc của nhiều thức to hơn hoặc bằng $3$: Ta thực hiện cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài xích tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo dìm xét trên, ta sử dụng cách thức hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm nhị vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = < ma_ m2x^3 + left( 3a_1 + b_2 ight)x^2$ $ + left( 2b_1 + c_2 ight)x + c_1 + d_2 m>cosx$$ – < ma_ m1x^3 – left( 3a_2 – b_1 ight)x^2$ $ – left( 2b_2 – c_1 ight)x + c_2 – d_1>sin x$ $(2).$

Đồng tốt nhất thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$