Ôn Tập Chương 3 Toán 12

     

Lý thuyết Ôn tập chương 3 lớp 12 gồm triết lý chi tiết, gọn nhẹ và bài tập tự luyện gồm lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kỹ năng và kiến thức trọng vai trung phong Toán 12 Ôn tập chương 3.

Bạn đang xem: ôn tập chương 3 toán 12


Lý thuyết Toán 12Ôn tập chương 3

A. Kim chỉ nan

1. Nguyên hàm và đặc điểm

1.1 Nguyên hàm.

- Định nghĩa

Cho hàm số f(x) khẳng định trên K (K là khoảng, đoạn giỏi nửa khoảng tầm của R).

Hàm số F(x) được hotline là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu như F’(x) = f(x) với tất cả x∈K.

Ví dụ.

- Hàm số F(x) = sinx + 6 là 1 trong nguyên hàm của hàm số f(x) = cosx trên khoảng chừng −∞;+∞vì F’(x) = (sinx + 6)’ = cosx cùng với ∀x∈−∞;+∞.

- Hàm số F(x)=x+ ​2x−3là một nguyên hàm của hàm số f(x)=−5(x−3)2 trên khoảng(−∞;  3) ∪(3; +​ ∞)

Vì F"(x)= x+ ​2x−3 "=−5(x−3)2=  f(x) với∀x∈(−∞;3)∪(3;+∞)

- Định lí 1.

Nếu F(x) là một trong những nguyên hàm của f(x) bên trên K thì với từng hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 trong những nguyên hàm của f(x) trên K.

- Định lí 2.

Nếu F(x) là 1 trong những nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì phần đông nguyên hàm của f(x) bên trên K đều có dạng F(x) + C, cùng với C là 1 trong những hằng số.

Do kia F(x)+C;  C∈ℝlà họ tất cả các nguyên hàm của f(x) bên trên K.

Kí hiệu:∫f(x)​dx   =   F(x)  + C

- Chú ý: Biểu thức f(x)dx đó là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì chưng dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx.

Ví dụ.

*

1.2 đặc thù của nguyên hàm

*

Ví dụ. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x)  =  3x2  +​  2sinxtrên khoảng chừng −∞;+∞.

Lời giải:

*

1.3 Sự trường thọ nguyên hàm

Định lí:

Mọi hàm số f(x) tiếp tục trên K đều sở hữu nguyên hàm bên trên K.

Ví dụ.

a) Hàm số y=  xcó nguyên hàm trên khoảng 0;  + ∞.

∫xdx=∫x12dx=23x32 +C=23xx+C

b) Hàm số y = 1x bao gồm nguyên hàm bên trên khoảng−∞;0∪0;+∞

∫1xdx  =  lnx  +​  C

1.4 Bảng nguyên hàm của một trong những hàm số hay gặp

*

Ví dụ. Tính:

a)∫3x4+​  x3dx

b)∫(5ex  − 4x+​ 2)dx

Lời giải:

*

- Chú ý: trường đoản cú đây, yêu ước tìm nguyên hàm của một hàm số được đọc là tra cứu nguyên hàm trên từng khoảng khẳng định của nó.

2. Cách thức tính nguyên hàm.

2.1Phương pháp thay đổi biến số

- Định lí 1.

Nếu∫f(u)du=  F(u)  +​  C cùng u = u(x) là hàm số gồm đạo hàm thường xuyên thì:

∫f(u(x)). u"(x)dx=F(u(x))+C

Hệ quả: ví như u = ax + b (a ≠ 0), ta có:

∫f(ax+ ​b)dx =1aF(ax+​ b)+​ C

Ví dụ. Tính ∫(3x+ ​2)3dx.

Lời giải:

Ta có: ∫u3du =  u44  +​ Cnên theo hệ trái ta có:

∫(3x+ ​2)3dx =(3x+2)44  +​  C

Chú ý:

Nếu tính nguyên hàm theo biến new u (u = u(x)) thì sau khoản thời gian tính nguyên hàm, ta phải trở về biến x thuở đầu bằng giải pháp thay u do u(x).

Ví dụ. Tính ∫sinx.cos2xdx.

Lời giải:

*

2.2 cách thức tính nguyên hàm từng phần.

- Định lí 2.

Nếu nhì hàm số u = u(x) cùng v = v(x) gồm đạo hàm liên tiếp trên K thì:

∫u(x). v"(x).dx=u(x).v(x)−  ∫u"(x).v(x)dx

- Chú ý.

Vì u’(x) dx = du; v’(x) dx = dv. Bắt buộc đẳng thức bên trên còn được viết làm việc dạng:

∫udv  = uv−  ∫vdu

Đó là phương pháp nguyên hàm từng phần.

Ví dụ. Tính

*

Lời giải:

*

*

*

3. Quan niệm tích phân

3.1 diện tích hình thang cong

- đến hàm số y = f(x) liên tục, không đổi vệt trên đoạn . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai tuyến phố thẳng x = a; x = b được call là hình thang cong.

- Ta xét vấn đề tìm diện tích hình thang cong bất kì:

Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường trực tiếp x = a; x = b (a x∈a; b, kí hiệu S(x) là diện tích của phần hình thang cong kia nằm giữa hai tuyến phố thẳng vuông góc với Ox theo lần lượt tại a với b.

Ta chứng minh được S(x) là 1 trong những nguyên hàm của f(x) bên trên đoạn .

Giả sử F(x) cũng là một trong nguyên hàm của f(x) thì bao gồm một hằng số C làm thế nào để cho S(x) = F(x) + C.

Vì S(a) = 0 đề xuất F(a) + C = 0 tuyệt C = – F(a).

Vậy S(x) = F(x) – F(a).

Thay x = b vào đẳng thức trên, ta có diện tích của hình thang nên tìm là:

S(b) = F(b) – F(a).

3.2 Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tiếp trên đoạn . đưa sử F(x) là một trong nguyên hàm của f(x) bên trên đoạn .

Hiệu số F(b) – F(a) được call là tích phân từ bỏ a mang lại b (hay tích phân xác minh trên đoạn ) của hàm số f(x), kí hiệu ∫abf(x)dx.

Ta còn sử dụng kí hiệu nhằm chỉ hiệu số F(b) – F(a).

Vậy∫abf(x)dx=F(x)ab  =F(b)−F(a)

Ta call ∫ab là vết tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới vết tích phân với f(x) là hàm số dưới vết tích phân.

- Chú ý.

Trong trường đúng theo a = b hoặc a > b, ta quy ước:

∫aaf(x)dx=0; ∫abf(x)​dx=−∫baf(x)​dx

Ví dụ.

a)∫02(x+​2)dx

=x22+2x02=6−0=6

b)∫0π2(2+​ cosx)dx

=2x+​  sinx0π2=(π+1)−0=π+1

- nhấn xét.

a) Tích phân của hàm số f trường đoản cú a đến b rất có thể kí hiệu là ∫abf(x)dxhay ∫abf(t)dt. Tích phân kia chỉ dựa vào vào f và các cận a, b mà lại không dựa vào vào trở nên x hay t.

b) Ý nghĩa hình học của tích phân.

Nếu hàm số f(x) thường xuyên và không âm bên trên đoạn thì tích phân ∫abf(x)dxlà diện tích s S của hình thang cong số lượng giới hạn bởi đồ dùng thị của f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b. Vậy S​ =  ∫abf(x)dx.

4. đặc thù của tích phân.

*

Ví dụ. Tính: ∫0π(3x− 4sinx)dx.

Xem thêm: Bài 22: Hoạt Động Kinh Tế Của Con Người Ở Đới Lạnh Địa Lí 7, Địa Lý Lớp 7 Bài 22

Lời giải:

Ta có:

∫0π(3x− 4sinx)dx  =  3∫0πxdx  − 4∫0πsinxdx=  3.x220π  +​4cos x0π  = 3π22 +​​​ (−4−4) =3π22  −  8

- tính chất 3.

∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx(a ∫−22xdx.

Lời giải:

*

5. Cách thức tính tích phân

5.1 phương thức đổi thay đổi số

- Định lí:

Cho hàm số f(x) liên tiếp trên đoạn . Trả sử hàm sốx=  φ(t) tất cả đạo hàm liên tục trên đoạn α;  βsao mang lại φ(α)=a;φ(β)=bvà a≤φ(t)≤b∀t∈α;β.

Khi đó:∫abf(x)​dx =  ∫αβfφ(t). φ"(t)dt

Ví dụ. Tính ∫011−x2dx.

Lời giải:

*

- Chú ý:

Trong nhiều trường vừa lòng ta còn sử dụng phép đổi biến hóa số sinh hoạt dạng sau:

Cho hàm số f(x) liên tiếp trên đoạn . Để tính ∫abf(x)dx, nhiều lúc ta chọn hàm số u = u(x) làm trở nên số mới, trong những số đó trên đoạn , u(x) có đạo hàm liên tiếp và u(x)∈α;β.

Giả sử có thể viết: f(x) = g(u(x)). U’(x) cùng với x∈a;  bvới g(u) liên tiếp trên đoạn α;  β

Khi đó, ta có:∫abf(x)dx=∫u(a)u(b)g(u)du

Ví dụ. Tính ∫0πx.sinx2dx.

Lời giải:

*

5.2 cách thức tính tích phân từng phần

- Định lí.

Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số gồm đạo hàm tiếp tục trên đoạn thì:

∫abu(x).v"(x)dx =u(x).v(x)ab−∫abv(x).u"(x)dx

Hay∫abudv  = uvab  − ∫abvdu

Ví dụ. TínhI=∫0π2xsinxdx.

Lời giải:

*

Ví dụ. Tính I=∫0e−1xln(x+1)dx.

Lời giải:

*

6. Tính diện tích hình phẳng

6.1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong với trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ dùng thị hàm số y = f(x) thường xuyên trên đoạn , trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định: S​  =  ∫abf(x)dx.

*

Ví dụ. Tính diện tích s hình phẳng được giới hạn bởi y = 5x4 + 3x2, trục hoành và hai tuyến đường thẳng x = 0; x = 1.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng bắt buộc tính là:

S= ∫01  5x4+ 3x2 dx= ∫01  5x4+ 3x2dx=  x5+​ x3 01 = 2

6.2 Hình phẳng được giới hạn bởi 2 đường cong

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số y = f(x); y = g(x) tiếp tục trên đoạn và hai đường thẳng x = a; x = b được xác định:

S​  =  ∫abf(x)−g(x)dx(*).

- Chú ý.

Khi áp dụng công thức (*), yêu cầu khử lốt giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu vết phân. Mong mỏi vậy ta giải phương trình: f(x) – g(x) = 0 bên trên đoạn .

Giả sử phương trình gồm hai nghiệm c; d (c ∫acf(x)−g(x)dx =∫acf(x)−  g(x)dx

Ví dụ. Tính diện tích hình phẳng được số lượng giới hạn bởi các đường trực tiếp x = 0; x = 2 và các đồ thị của hai hàm số y = x – 1 và y = x2 – 1.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai tuyến phố cong:

*

7. Tính thể tích

7.1 Thể tích của đồ gia dụng thể

Cắt một đồ gia dụng thể (H) do hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a; x = b (a (a≤  x≤b) cắt (H) theo tiết diện có diện tích s là S(x). Mang sử S(x) tiếp tục trên đoạn .

Khi đó, thể tích V của phần đồ dùng thể giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) với (Q) được xác minh bởi công thức: V=∫abS(x)dx.

7.2 Thể tích khối chóp với khối chóp cụt.

a) mang đến khối chóp có diện tích s đáy là B, độ cao h.

Khi đó, thể tích của khối chóp là V =  13B.h.

b) mang đến khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai lòng lần lượt là B; B’ và chiều cao là h.

Thể tích của khối chóp cụt là:

V=h3B+B.B"+B"

8. Thể tích khối tròn xoay

- Thể tích khối tròn luân phiên được hiện ra khi quay hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường cong y = f(x), trục hoành và hai tuyến phố thẳng x = a; x = b xung quanh trục Ox:

V  =  π∫abf2(x)dx

Ví dụ. mang đến hình phẳng số lượng giới hạn bởi mặt đường cong , trục hoành và hai tuyến phố thẳng x = 0; x = 2. Tính thể tích khối tròn luân chuyển thu được lúc quay hình này xung quanh trục Ox.

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay đề xuất tính là:

V  =  π∫02x4dx =  πx5502  =32π5

B. Bài tập từ luyện

Bài 1. Trong những cặp hàm số sau, hàm số nào là 1 trong những nguyên hàm của hàm số còn lại.

a) x3 và x44  +​  10;

b) e–2x + 2 và – 2e–2x.

Lời giải:

a) Ta có:

x44  +​  10"=  x44" +​ 10"= x3

Do đó, F(x) = x44  +​  10là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x3.

b) Ta có: (e–2x + 2)’ = – 2e–2x buộc phải F(x) = e–2x + 2 là một trong những nguyên hàm của hàm số

f(x) = – 2e–2x.

Bài 2. search nguyên hàm của những hàm số sau:

a) f(x)= 2x+​ ex+​ 2;

b) f(x) = sinx + cosx.

Lời giải:

*

Bài 3. Sử dụng cách thức đổi biến, tính:

*

Lời giải:

*

*

*

Bài 4. Sử dụng cách thức tính nguyên hàm từng phần, tính:

a) ∫(x+ ​2).sinxdx;

b) ∫(x+ ​1).lnxdx.

Lời giải:

*

*

Bài 5. Tính các tích phân sau:

a) ∫12x2+4xxdx;

b) ∫−π2π3sinxdx.

Lời giải:

*

Bài 6. Sử dụng cách thức đổi biến, hãy tính:

*

Lời giải:

*

*

*

Bài 7. Sử dụng cách thức tính tích phân từng phần, hãy tính:

*

Lời giải:

*

*

*

*

Bài 8. Tính diện tích s hình phẳng giới hạn bởi những đường sau:

a) y = x3 – 3x2 , trục hoành và hai đường thẳng x = 1; x = 4;

b) y = 2 – x2; y = –x.

Lời giải:

*

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai thiết bị thị :

*

Bài 9. Tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi parabol (P): y = x2 + 3, tiếp đường của (P) trên điểm gồm hoành độ x = 2 với trục tung?

Lời giải:

Ta có: y’ = 2x .

Suy ra: y’(2) = 4 với y(2) = 7.

Phương trình tiếp đường của (P) trên điểm có hoành độ x = 2 là

y = 4(x – 2) + 7 = 4x – 1 .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) với tiếp tuyến:

x2 + 3 = 4x – 1x2 – 4x + 4 = 0

⇔x = 2

Diện tích hình phẳng bắt buộc tính là:

S  =  ∫02x2+​ 3−  (4x−1)dx=  ∫02x2−4x+​4dx= ∫02x2−4x+​4dx  =  x33  −2x2+​  4x02  = 83

Bài 10. Tính thể tích khối tròn xoay vị hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường sau quay quanh Ox.

a) y = x3 + 1; y = 0; x = 0; x = 1;

b) y = –x2 + 2x ; y = 0.

Lời giải:

a) Theo công thức ta rất có thể tích của khối tròn xoay buộc phải tính là:

V=π∫01(x3+1)2dx=π∫01x6+ 2x3+ 1dx=πx77 + x42 +​x01 =23π14.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ dùng thị là:

– x2 + 2x = 0⇔x=0x=2

Theo cách làm ta hoàn toàn có thể tích của khối tròn xoay buộc phải tính là:

V=π∫02(−x2+2x)2dx.=  π∫02(x4+4x2−4x3)dx= πx55  ​+ 4x33−x402=16π15

Trắc nghiệm Toán 12 Bài: Ôn tập Chương 3 - Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Câu 1.

Xem thêm: Xưởng Bán Vòng Quay Chiếc Nón Kỳ Diệu Magic Whell, Đồ Dùng, Cách Làm Vòng Quay Chiếc Nón Kỳ Diệu

ChoFxlà một nguyên hàm của hàm sốfx=sin2x1+cosxthỏa mãnFπ2=0. TínhF0.